Méthode pour déterminer le nombre de racines réelles...

[Cyril]

Méthode pour déterminer le nombre de racines réelles d'une fonction "polynôme à coefficients réels" de degré quelconque (et, en particulier, de degré > 4).



Chaque grande branche des mathématiques possède un théorème fondamental. Le théorème fondamental de l'Algèbre (classique) peut être énoncé ainsi : "Toute fonction polynomiale à coefficients complexes de degré n, n étant un (nombre) entier naturel non nul, possède exactement n racines complexes." (J'ai simplifié l'énoncé mais je précise qu'il faut dès lors compter autant de fois que nécessaire une racine "multiple" (double, triple, et cætera), s'il y en a.)

Vers mes 27 ans, j'ai imaginé une méthode pour déterminer le nombre de racines réelles d'une fonction polynomiale à coefficients réels de degré quelconque et, en particulier, de degré > 4 ; voici ce que j'avais écrit :



Soit f une fonction "polynôme" :

;

la (fonction) dérivée première est de la forme :


;

la dérivée seconde de la forme :



;

soit :



;

la dérivée troisième :



;

autrement dit :



;

d'où :



;

ou :

;

et, par conséquent, la dérivée (n-1)-ième, qui est, comme nous pouvons le voir, une fonction (polynomiale) de degré 1 [1] :

,

c'est-à-dire, en simplifiant un peu :

.


On calcule (tout) d'abord la racine réelle de , soit r1 ― qui est "unique".

On calcule ensuite l'extremum (unique) de ; soit ε2. (On sait que la dérivée (n-2)-ième est du second degré ; or toute fonction polynomiale de degré pair a au moins un extremum.)

Puis on détermine le sens de . Étant donné que nous ne nous intéressons qu'à une fonction "polynôme", il suffit de lire le signe de a0. On a cinq cas de figure :

1) si le signe de a0 est positif et si (r1) > 0, alors n'a aucune racine réelle ;
2) de même si le signe de a0 est négatif et si (r1) < 0 ;

3) en revanche, si le signe de a0 est positif et si (r1) < 0, alors a deux racines réelles ;
4) de même si le signe de a0 est négatif et si (r1) > 0 ;

5) enfin, si (r1) = 0, alors n'a qu'une racine réelle (qui est "double"), à savoir r1. [2]


Si n'a qu'une racine, alors nous définirons un encadrement (au dixième près, par exemple) de cette racine ; si elle en a deux, nous définirons un encadrement de chacune de ces racines, respectivement nommés E1 et E2.

De manière générale, si avait au moins une racine, alors nous définirions un encadrement de chaque racine, respectivement nommés E1, E2, ..., Ep [3]. Ainsi obtiendrions-nous :

E1 = ]b1i, b1j[,

E2 = ]b2i, b2j[,

...,

Ep = ]bpi, bpj[. [4]


Nous conclurons à une approximation pour chaque racine de , respectivement nommées x1, x2, ..., xp. Ainsi aurons-nous :

,

,

...,

.


Nous calculerons dès lors de x1, puis (de) x2 :

Après quoi nous déterminerons le sens de et ainsi de suite jusqu'à déterminer le nombre des racines réelles de f...


Cette méthode est précise autant qu'on voudra. Mais il est possible que certaines racines nous échappent. Elle demeure cependant un outil efficace pour connaître le nombre de racines réelles d'une fonction polynomiale à coefficients réels de degré quelconque.

Remarque : Cette méthode est très simple. Elle s'appuie sur quelque chose qui a été patiemment étudiée dès la Seconde, à savoir l'examen de la dérivée afin de déterminer les variations d'une fonction.

Théorème 1 : Toute fonction polynomiale de degré impair a au moins une racine réelle. Ainsi toute fonction polynomiale de degré pair a bien pour représentation graphique une courbe dont la forme générale est une parabole, c'est à dire que toute fonction polynomiale de degré pair compte au moins un extremum.

Théorème 2 : Soit f une fonction polynomiale de degré pair, si f' n'a aucun extremum alors f a au plus deux racines réelles.


_______
[1] Soit f une fonction de degré n, la dérivé de f d'ordre (n - m) est de degré m.
[2] Ce cas est peu intéressant, car il peut être assimilé aux deux premiers (à savoir les cas où n'a aucune racine réelle). Le fait que n'ait qu'une racine réelle, rq, implique que n'a qu'un extremum, ε(q+1). Or, si est de degré impair, sa courbe représentative admet, en un point π (dont les coordonnées sont rq et ε(q+1)), une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La courbe représentative de a cependant, à tout instant, le même sens, sauf en π. Il est donc possible de considérer que est "monotone" (soit croissante, soit décroissante ― suivant le signe de a0).
[3] Évidemment, p ≤ m.
[4] Nous définirons tout d'abord E1 = ]c1, r1[, E2 = ]r1, r2[, ..., Ep = ]r(p-1), c2[. (Et, par exemple, b1j - b1i = b2j - b2i = ... = bpj - bpi = 0,1.)

[Cyril]

En fait, on utilise ordinairement une méthode élaborée sur la base d'un théorème démontré en 1829, si ma mémoire est bonne, par Charles Sturm (1803-1855) ; j'ai dit que ma méthode était efficace mais, en vérité, la lourdeur du calcul devient vite grande...

[Nastia]

voila mon cerveau surchauffe !!!!

[G@liléo]

Salut Cyril,
C'est tout à fait correct
En fait, tu utilises le théorème dit " de la bijection "(*) qui est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

(*) Celui-ci assure, si la fonction est strictement monotone et continue (elle y est donc bijective (**)) sur un intervalle j de bornes finies ou non, l'existence d'une unique solution k dans J telle que f(k) appartienne à f(J).

En l’occurrence tu recherches le réel k tel que f(k)=0 en utilisant le précédent théorème autant de fois que possible.

(** )Remarque: Cette bijection est un homéomorphisme: la fonction réciproque est aussi continue sur J.

C'est un exercice que j'ai donné récemment à mes élèves de L1 : Étudier une fonction polynomiale de degré 3 pour en déduire le nombre de solutions de ce polynôme sur R, et enfin leur faire rédiger la méthode que tu viens d'énoncer pour un degré n entier quelconque.

Néanmoins cette méthode, en plus d'être très lourde en calculs, est impropre car elle ne donne qu'une approximation (aussi précise que l'on veut, certes) des solutions.

Beaucoup de théorèmes d'analyse se déduisent facilement lorsque l'on s’intéresse à ce genre de problème : théorème de Rolle, des accroissements finis, de Bolzano etc...

Félicitations en tous cas à toi Cyril, qui rappelons le, n'est pas mathématicien de formation.

[G@liléo]

Je profite du sujet pour proposer ce problème:

Les coefficients d'un polynôme du sixième degré P(x) sont des entiers.
Ses racines sont six nombres premiers distincts entre eux.
Il existe deux entiers A et B tels que P(A)=65536 et P(B)=45441.
Par ailleurs P(75)<0.

Trouver les six racines de P(x).

http://www.youtube.com/watch?v=ySHiHfU7GRY&feature=related

[Cyril]

Toi aussi tu réfléchis en musique ? Merci !


Alors posons d'abord :

;

je puis écrire :

.

J'obtiens, dès lors, le polynôme du troisième degré suivant :

,

soit :

...


...

[G@liléo]

Oui! La musique me détend, elle me fait mieux embrasser l'harmonie.

Alors, alors, encore une fois (décidément), c'est juste, mais il va falloir beaucoup plus de travail, le problème a l'air court mais il est assez long à résoudre.

Je donne le début d'une idée pour que vous partiez dans la bonne direction, P(x) est de la forme:



Avec x1, x2, x3, x4, x5, x6, les racines du polynôme, toutes distinctes. Et on suppose x1<x2<x3<x4<x5<x6.

En fonction de PGCD de P(A) et P(B), déduire les valeurs possibles pour k.
Dans ce qui suit, vous choisirez la seule valeur positive de k précédemment trouvée pour raisonner.

Remarquez ensuite que :




En déduire la parité de A et B.
En déduire les parité des termes:




Peut-on avoir : A<x1; A<x2 ; A<x3 ; etc... ?
A>x1 ; A>x2; A>x3 ; etc ... ?
En déduire le nombre de sextuplés possibles. (Beaucoup de travail ici)

Analysez la factorisation de P(B) et en déterminer les diviseurs possibles.

Montrer alors que A=B+1.

Déterminer l'unique sextuplé qui donne P(B)=45441 qui correspond à A-x1 = 32, A-x2 =16, A-x3 = 8, A-x4= 2, A-x5 = -2, A-x6 = -4.

En déduire l'espacement des nombres premiers qui sont les valeurs de P(x).

A l'aide d'une table des nombres premiers allant jusqu'à 300, donner les séquences qui obéissent à cet espacement.

Déterminer la séquence respectant la condition de l'énoncé : P(75)<0

En déduire les racines de P(x).


Bon du coup je vous un peu (trop) aidé.

[Cyril]

Alors, alors, encore une fois (décidément), c'est juste, mais il va falloir beaucoup plus de travail, le problème a l'air court mais il est assez long à résoudre.

Franchement, je n'ai plus envie... (Rien contre toi, G@liléo.)

[G@liléo]

Y'a pas d'mal cher ami. Ce n'est pas un exercice très intéressant de toutes façons. J'écrirai la correction à temps perdu.

(R*, on dit "de toutes façons" , ou "de toute façon" ?)

[sushi des bois]

Les deux...